傅里叶级数和傅里叶变换

作为一名信息与通信工程专业的本科生，傅里叶先哲的大名小弟早已久仰万分。（主要是一开始被傅里叶级数和变换的数学表达式按在地上摩擦。好不容易高数学完了吧，没想到又在专业课上碰到了……）

傅里叶级数

傅里叶级数表明：任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（正弦函数和余弦函数相互正交）。也就是说，不论一个周期信号有多么复杂、长得多么奇怪，它都可以被由不同个正弦函数和不同个余弦函数表达出来。

举个例子，下图这样一个信号就可以分解为另两个信号（正弦、余弦）之和

目前，我们处于一般状态下的信号——时间坐标系，即时域下。当我们换个角度，即信号——频率坐标系（频域）下，这些图像又会发生什么样的变化呢。

不难看出，投影到频域上的信号图像是离散的非周期的线段，这里的自变量频率也就是一个标准正弦信号表达式y=Asin（wt+θ）中的w。

那么有了w的频谱，θ又在哪里呢？别着急，下面这幅图会给你一个答案。

向下投影，我们可以得到在不同w下的不同θ值（一般取相位的主值范围为 (-π, π]）

刚才，我们谈傅里叶级数是针对“周期”且”连续”的信号而言，得到的是“非周期”且“离散”的频谱。

而自然界中的非周期信号也琳琅满目，对于它们，就需要用上傅里叶变换了。

这里，上方对应的是傅里叶级数，下方对应的是傅里叶变换。不难看出，对于傅里叶变换，时域信号是“非周期”且“连续”的，而变换后的频域信号则为“非周期”但“连续”的，与傅里叶级数对应不同。

	时域	频域
傅里叶级数	周期、连续	非周期、离散
傅里叶变换	非周期、连续	非周期、连续

傅里叶级数公式：

其中，

f(x)从时域到频域F(w)：

从频域F(w)到时域f(x)：

到这里，一些有关傅里叶级数及傅里叶变换的初级内容就介绍完啦，感谢你们的收看，更多相关的性质我们留在下一p去讨论。在此贴一个比我科普详细一百倍的网站链接，大家还有什么不太理解和清楚的地方可以去这里借鉴：深入浅出的讲解傅里叶变换（真正的通俗易懂）_后脑勺的博客-CSDN博客_傅里叶变换，我们下期再见啦~